Measurement & regression

Static torsion

Hang weights on a disc, read the twist angle and build the table — the whole measurement in a simulator.

Example: Steel wire, 10 load steps of 20 g → table of angles and a graph; you finish G in Linear regression.

Zavěste stejná závaží na obě misky, odečtěte úhel pootočení kotouče a sestavte tabulku úhlu podle zatížení. Simulace ukazuje celé měření (zatěžování i odlehčování), výpočet modulu pružnosti ve smyku G provedete v kalkulačkách níže.Hang equal weights on both pans, read the twist angle of the disc and build the table of angle against load. The simulator shows the whole measurement (loading and unloading); you work out the shear modulus G in the calculators below.

Apparatusnot to scale

Table · twist angle against loadg = 9.81 m·s^-2

0.0° now

n	m / g	F / N	φ₁ / °	φ₂ / °	φ / °

Twist angle against loadfilled loading, open unloading

Residualsmean φ minus the fitted line, in degrees

Presets

Standard valuesshear modulus G

Materiál drátuWire material	G / GPa	G / 10¹⁰ Pa
Ocel (uhlíková, konstrukční)Steel (carbon, structural)	77 – 7977 – 79	7,7 – 7,97.7 – 7.9
Nerezová ocelStainless steel	7878	7,87.8
LitinaCast iron	4141	4,14.1
MěďCopper	4545	4,54.5
BronzBronze	4545	4,54.5
MosazBrass	36 – 4036 – 40	3,6 – 4,03.6 – 4.0
Hliník (slitiny)Aluminium (alloys)	25,5 – 2725.5 – 27	2,6 – 2,72.6 – 2.7
TitanTitanium	4141	4,14.1
OlovoLead	1313	1,31.3

Orientační tabulkové hodnoty modulu pružnosti ve smyku při pokojové teplotě. Skutečná hodnota závisí na slitině a tepelném zpracování, proto ji u svého drátu ověřte v datovém listu. 1 × 10¹⁰ Pa = 10 GPa. Zdroje: Wikipedia (Shear modulus), Engineers Edge (Modulus of rigidity).Typical shear modulus values at room temperature. The real value depends on the alloy and its heat treatment, so check the datasheet of your own wire. 1 × 10¹⁰ Pa = 10 GPa. Sources: Wikipedia (Shear modulus), Engineers Edge (Modulus of rigidity).

Calculate your result

Naměřené hodnoty zpracujte v kalkulačkách: 20 průměrů drátu v Pravděpodobné chybě a dvojice zatížení a úhel v Lineární regresi. Z jejich výsledků dosaďte do vzorce nahoře a porovnejte G s tabulkou.Work up your readings in the calculators: the 20 wire diameters in Probable error and the load and angle pairs in Linear regression. Put their results into the formula above and compare G with the table.

Probable error Linear regression

Key equations

(130)

φ^{*} = \frac{M}{k G}, M = F_{g} D = m g D

φ* in radians

(131)

k = \frac{π d^{4}}{32 L}

(133)

G = \frac{5760 ° L D}{π^{2} d^{4} a}, a = \frac{φ}{F_{g}}

φ in degrees

(134)

φ = a F_{g} + φ_{0}

find a by least squares (Linear regression calculator)

Parameters

SymbolSymbol	VýznamMeaning	JednotkaUnit
$G$	modul pružnosti ve smykushear modulus	Pa
$L$	délka drátuwire length	m
$D$	průměr otáčivého kotouče (rameno síly)diameter of the rotating disc (force arm)	m
$d$	průměr drátuwire diameter	m
$m$	přidaná hmotnost na každé misceadded mass on each pan	kg
$F_{g}$	tíhová síla zátěže (= mg)load force (= mg)	N
$φ$	střední úhel pootočenímean twist angle	°
$φ_{0}$	počáteční úhel pootočeníinitial twist angle	°
$a$	směrnice závislosti φ na F_gslope of φ versus F_g	°·N^-1

Error calculationformulas without values

G = \frac{5760 L D}{π^{2} d^{4} a}

ϑ (G) = \sqrt{{(\frac{\partial G}{\partial L} ϑ (L))}^{2} + {(\frac{\partial G}{\partial D} ϑ (D))}^{2} + {(\frac{\partial G}{\partial d} ϑ (d))}^{2}}

Partial derivatives

\frac{\partial G}{\partial L} = \frac{5760 D}{π^{2} d^{4} a}

\frac{\partial G}{\partial D} = \frac{5760 L}{π^{2} d^{4} a}

\frac{\partial G}{\partial d} = \frac{5760 L D}{π^{2} a} d^{- 5} (- 4) = - \frac{23040 L D}{π^{2} d^{5} a}