Měření a regrese

Torzní kyvadlo

Uvolněte těleso na drátu, změřte 30 kmitů a sestavte tabulku rozdílů 15T.

Příklad: Koule na ocelovém drátu: 30 kmitů, pět rozdílů 15T → G z periody v Pravděpodobné chybě.

Uvolněte těleso na drátu, stopkami s mezičasy změřte 30 kmitů a sestavte tabulku postupných rozdílů. Simulace ukazuje celé měření, modul pružnosti ve smyku G spočítáte v kalkulačkách níže.Release the body on the wire, time 30 oscillations with the lap stopwatch and build the table of successive differences. The simulator shows the whole measurement; you work out the shear modulus G in the calculators below.

Aparaturanení v měřítku

Tabulka · postupné rozdílymezičas každé 3 kmity

0.00s

i	i·T / s	i+15	(i+15)·T / s	15T / s

Pět hodnot 15Tmosazná čára je skutečná hodnota

Úhelθ v čase, body jsou započtené průchody nulou

Předvolby

Tabulkové hodnotymodul pružnosti ve smyku G a moment setrvačnosti

Materiál drátuWire material	G / GPa	G / 10¹⁰ Pa
Ocel (uhlíková, konstrukční)Steel (carbon, structural)	77 – 7977 – 79	7,7 – 7,97.7 – 7.9
Nerezová ocelStainless steel	7878	7,87.8
LitinaCast iron	4141	4,14.1
MěďCopper	4545	4,54.5
BronzBronze	4545	4,54.5
MosazBrass	36 – 4036 – 40	3,6 – 4,03.6 – 4.0
Hliník (slitiny)Aluminium (alloys)	25,5 – 2725.5 – 27	2,6 – 2,72.6 – 2.7
TitanTitanium	4141	4,14.1
OlovoLead	1313	1,31.3

Orientační tabulkové hodnoty modulu pružnosti ve smyku při pokojové teplotě. Skutečná hodnota závisí na slitině a tepelném zpracování, proto ji u svého drátu ověřte v datovém listu. 1 × 10¹⁰ Pa = 10 GPa. Zdroje: Wikipedia (Shear modulus), Engineers Edge (Modulus of rigidity).Typical shear modulus values at room temperature. The real value depends on the alloy and its heat treatment, so check the datasheet of your own wire. 1 × 10¹⁰ Pa = 10 GPa. Sources: Wikipedia (Shear modulus), Engineers Edge (Modulus of rigidity).

Moment setrvačnosti tělesaMoment of inertia of the body

TělesoBody	c	Moment setrvačnostiMoment of inertia
Koule (osa středem)Sphere (axis through the centre)	2/5	J = 0,4·m·R²J = 0.4·m·R²
Válec (osa válce)Cylinder (about its own axis)	1/2	J = 0,5·m·R²J = 0.5·m·R²
Kužel (osa kužele)Cone (about its own axis)	3/10	J = 0,3·m·R²J = 0.3·m·R²

Vypočítejte výsledek

Pět rozdílů 15T zpracujte v Pravděpodobné chybě, průměr drátu d a délku L v kalkulačce Více veličin. Z period a rozměrů pak dosaďte do vzorce nahoře a porovnejte G s tabulkou.Work up the five 15T differences in Probable error, and the wire diameter d and length L in the Several quantities calculator. Then put the period and the dimensions into the formula above and compare G with the table.

Pravděpodobná chyba Více veličin (a, b, c)

Hlavní vzorce

(135)

G = \frac{128 π L J}{T^{2} d^{4}}

(136)

J = \frac{2}{5} m R^{2}, J = \frac{1}{2} m R^{2}

koule, válec

(137)

J = \frac{3}{10} m R^{2}, J = \frac{3}{10} m \frac{{R_{1}}^{5} - {R_{2}}^{5}}{{R_{1}}^{3} - {R_{2}}^{3}}

kužel, komolý kužel (R₁ > R₂)

Parametry

SymbolSymbol	VýznamMeaning	JednotkaUnit
$G$	modul pružnosti ve smyku drátushear modulus of the wire	Pa
$L$	délka drátuwire length	m
$d$	průměr drátuwire diameter	m
$T$	perioda torzních kmitůtorsional oscillation period	s
$J$	moment setrvačnosti zavěšeného tělesamoment of inertia of the suspended body	kg·m²
$m$	hmotnost tělesabody mass	kg
$R$	poloměr tělesabody radius	m

Výpočet chybyvzorce bez hodnot

A · Koule zavěšená na drátuA · Sphere suspended from the wire

G = \frac{256 π L m R^{2}}{5 T^{2} d^{4}}

ϑ (G) = \sqrt{{(\frac{\partial G}{\partial L} ϑ (L))}^{2} + {(\frac{\partial G}{\partial m} ϑ (m))}^{2} + {(\frac{\partial G}{\partial R} ϑ (R))}^{2} + {(\frac{\partial G}{\partial d} ϑ (d))}^{2}}

Parciální derivace

\frac{\partial G}{\partial L} = \frac{256 π m R^{2}}{5 T^{2} d^{4}}

\frac{\partial G}{\partial m} = \frac{256 π L R^{2}}{5 T^{2} d^{4}}

\frac{\partial G}{\partial R} = \frac{256 π L m \cdot 2 R}{5 T^{2} d^{4}}

\frac{\partial G}{\partial d} = \frac{256 π L m R^{2}}{5 T^{2}} d^{- 5} (- 4)

B · Válec zavěšený na drátuB · Cylinder suspended from the wire

G = \frac{64 π L m R^{2}}{T^{2} d^{4}}

ϑ (G) = \sqrt{{(\frac{\partial G}{\partial L} ϑ (L))}^{2} + {(\frac{\partial G}{\partial m} ϑ (m))}^{2} + {(\frac{\partial G}{\partial R} ϑ (R))}^{2} + {(\frac{\partial G}{\partial d} ϑ (d))}^{2}}

Parciální derivace

\frac{\partial G}{\partial L} = \frac{64 π m R^{2}}{T^{2} d^{4}}

\frac{\partial G}{\partial m} = \frac{64 π L R^{2}}{T^{2} d^{4}}

\frac{\partial G}{\partial R} = \frac{64 π L m \cdot 2 R}{T^{2} d^{4}}

\frac{\partial G}{\partial d} = \frac{64 π L m R^{2}}{T^{2}} d^{- 5} (- 4)